"Tras cada hombre viviente se encuentran treinta fantasmas, pues tal es la proporción numérica con que los muertos superan a los vivos. Desde el alba de los tiempos, aproximadamente cien mil millones de seres humanos han transitado por el planeta Tierra. Y es en verdad un número interesante, pues por curiosa coincidencia hay aproximadamente cien mil millones de estrellas en nuestro universo local, la Vía Láctea. Así, por cada hombre que jamás ha vivido, luce una estrella en ese Universo." Arthur C. Clarke

lunes, 23 de julio de 2007

Postblema: El Hotel de Hilbert

Hoy os voy a dejar aquí un juego matemático, a petición de Garib, el hotel infinito de Hilbert. Es, sobre todo, una demostración de lo mal que manejamos el concepto de infinito. Será, quizá, porque realmente el infinito no existe. ¿O sí? Os voy a presentar dos casos.

Caso A

Esta noche vamos a alojarnos en un hotel. Concretamente en el Hotel de Hilbert. Se trata de un maravilloso hotel de infinitas habitaciones. Llegamos a la recepción y preguntamos amablemente por una habitación para pasar la noche. Pero ante nuestra sorpresa nos responden...
-Lo siento mucho, señor, pero no tenemos habitaciones disponibles.
-Pero...¿cómo es eso posible? ¿No tienen ustedes infinitas habitaciones? Si tienen infinitas habitaciones deben tener una libre para mí.
-Tenemos infinitas habitaciones, pero hoy tenemos también infinitos clientes, por lo que tenemos todas las habitaciones ocupadas.

¿Cómo podemos convencer al recepcionista de que, efectivamente, tienen habitaciones libres para mí?


Caso B

Ahora el hotel seguro que se verá desbordado, pues no va a recibir a un cliente, sino a una excursión de infinitos miembros. ¿Seguro que se verá desbordado? Una excursión de infinitos miembros en un hotel ya lleno es realmente mucha gente, incluso para un hotel como el Hotel de Hilbert. Pero con la experiencia obtenida en el caso anterior, seguro que el recepcionista es capaz de alojar a todo esta infinidad de clientes.

¿Cómo alojar a un conjunto infinito de clientes?

10 comentarios:

Maripuchi dijo...

Mi excusa es: "soy de letras". jajajajajajajaja

Scout Finch dijo...

Yo era de ciencias, pero no me acuerdo de nada de las matemáticas. Lo mío era la biología y sobre todo las ciencias de la salud.

Yo te diría que, como es hay infinitas habitaciones siempre va a haber alguna disponible ¿no? Pero vamos, que es una elucubración sin fundamento.

Rivademar dijo...

infinito + x = infinito
infinito + infinito = infinito,
ergo en los 2 casos los clientes nuevos tienen habitación disponible.Y me permito preguntar ¿Cuántas habitaciones quedarían libres, si los infinitos clientes se marchan del hotel?

Felicidades por el blog. ¿Qué como lo encontré? Me lo recomendó tu padre R....., ayer tomando café.

Saludos.

Adivagar dijo...

Maripuchi, realmente no hace falta matemáticas más que de instituto como mucho, la dificultad está en nuestra forma de pensar, no en las ciencias o letras... Scout lo intuye, pero vamos a darle un poquito de forma matemática.

Rivademar, bienvenido a mi blog. ¡Mi padre hace publicidad de mi blog! ¡Ésa sí que es una buena noticia! Efectivamente, la solución está en los diferentes tamaños de conjuntos infinitos, (¿es más grande el conjunto de los números reales o el de su subconjunto los número pares?)pero lo voy a poner de forma un poco más clara para los de letras... ;)

En el caso A, no llegaríamos nunca a encontrar la primera habitación vacía. El recepcionista lo resolvería pidiendo a cada cliente que se mudara a la siguiente habitación. El de la 1 a la 2, el de la 2 a la 3, continuando esa secuencia de forma infinita. Pero la habitación 1 ya estaría disponible para nosotros.

El caso B intuimos que es muy similar, pero una vez más vamos a darle una forma menos abstracta. Esta vez el recepcionista tendría que pedir a cada cliente que multiplicase por dos su número de habitación y se mudase al resultado obtenido. Todos los clientes tendrían habitaciones pares, y los nuevos infinitos clientes tendrían todos los número impares para alojarse. Dado que los dos subconjuntos, pares e impares, son infinitos, el hotel podría alojarnos una vez más.

En el caso de dejar las habitaciones infinitos clientes, la intuición nos dice que quedarían infinitas habitaciones libres. Pero esta vez la intuición no acierta...
Infinito+infinito=infinito,
pero...
Infinito-infinito=... indeterminación. No podemos conocer el número de habitaciones libres a no ser que conozcamos "qué infinito" deja las habitaciones, los clientes viejos del caso A, los nuevos del B o un número independiente... Es decir, necesitaríamos conocer el resto de términos de la ecuación.

Un saludo.

Maripuchi dijo...

jaja de instituto, pero ¿de qué curso? jajajaja mi último curso de mates fue 2º BUP ...

Scout Finch dijo...

Vale, creo que lo he pillado. Me ha recordado a mis tiempos de BUP, qué gracia.

garib dijo...

Me he acordado de otra forma de explicar las infinitudes, creo que finalmente lo voy a redactar y a escribirlo en mi propio blog para inaugurar una categoría de divulgación...

Adivagar dijo...

Hombre, me alegro de que te decidas a abrir un hilo de divulgación sobre ciencia. Al final escribirás sobre el gato de schrodinger antes que yo...

Paco dijo...

Como matemático le pongo un 10 a adivagar por la explicación y otro al autor del blog por el post.

Otra cosa curiosa sobre el infinito es demostrar como es posible que una suma de infinitos números da un número finito.

¿Sabéis cómo?

Adivagar dijo...

Hola Paco, gracias por los dos 10, porque el blog (y el post) también son mios...

Una suma de infinitos números que da un número finito:

1/(2^n)=1+(1/2)+ (1/4)+ (1/8)+ (1/16)+ (1/32)+...... = 2

El infinito da para muchas reflexiones, sobre todo el darnos cuenta de lo mal que el sentido común se lleva con él. El post de Garib sobre el infinito es buenísimo.

Un saludo

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